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\author{李国斌}
\date{2025年9月7日}

	\begin{abstract}
		本文详细研究了莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1730年对Gamma函数倒数无穷乘积表达式的推导方法。该公式形如：
		\[
		\frac{1}{\Gamma(x+1)} = x e^{\gamma x} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right) e^{-x/n}
		\]
		其中$\gamma$为欧拉-马歇罗尼常数。欧拉的推导展现了其在无穷级数、无穷乘积和极限运算方面的卓越技巧。本文首先回顾了欧拉时代阶乘插值问题的背景，然后逐步重现其推导过程的核心思想，最后通过数值验证和几何解释说明了该公式的重要意义。
	\end{abstract}
	
	\section{引言：阶乘插值问题的历史背景}
	18世纪初，数学家们开始探索将离散的阶乘函数$n!$推广到连续变量的问题。丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)和克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)都曾对此问题产生兴趣，但欧拉是第一个系统解决这一问题的数学家。
	
	1729年，欧拉首先给出了Gamma函数的极限定义：
	\[
	\Gamma(x+1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} n^x
	\]
	然而，这个表达式在计算和应用上并不方便。1730年，欧拉通过精湛的分析技巧，推导出了现在被称为Weierstrass无穷乘积形式的表达式，为Gamma函数的理论研究奠定了基础。
	
	\section{欧拉的推导过程}
	\subsection{第一步：从极限形式出发}
	欧拉从他自己之前发现的极限表达式开始：
	\[
	\Gamma(x+1) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^x}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}
	\]
	取倒数后得到：
	\[
	\frac{1}{\Gamma(x+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}{n! n^x}
	\]
	
	\subsection{第二步：引入对数与级数展开}
	欧拉的关键洞察是将表达式取对数，将其转化为级数形式：
	\[
	\ln\left(\frac{1}{\Gamma(x+1)}\right) = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \ln\left(1 + \frac{x}{k}\right) - \ln(n!) - x \ln n \right]
	\]
	
	利用斯特林(Stirling)近似和调和级数的性质，欧拉注意到：
	\[
	\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln(2\pi n)
	\]
	且
	\[
	\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)
	\]
	其中$\gamma$是现在所称的欧拉-马歇罗尼常数。
	
	\subsection{第三步：重新组合项}
	欧拉将表达式重新组合：
	\begin{align*}
		\frac{1}{\Gamma(x+1)} &= \lim_{n \to \infty} x \cdot \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{x}{k}\right) \cdot n^{-x} \\
		&= x \cdot \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{x}{k}\right) e^{-x/k} \cdot e^{x(\sum_{k=1}^n 1/k - \ln n)}
	\end{align*}
	
	\subsection{第四步：识别欧拉-马歇罗尼常数}
	欧拉认识到极限：
	\[
	\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right) = \gamma
	\]
	这个常数现在被称为欧拉-马歇罗尼常数，其数值约为0.57721。
	
	\subsection{第五步：得到最终形式}
	将上述结果组合，欧拉得到了著名的无穷乘积公式：
	\[
	\frac{1}{\Gamma(x)} = x e^{\gamma x} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right) e^{-x/n}
	\]
	
	\section{数值验证与几何解释}
	为了验证欧拉公式的正确性，我们绘制了Gamma函数及其倒数无穷乘积近似的图像。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=6cm,
				domain=0.1:4,
				samples=100,
				xlabel=$x$,
				ylabel=$y$,
				legend pos=north west,
				grid=major
				]
				% 精确的Gamma函数				\addplot[blue, thick] {exp(lgamma(x))};
				% 3项乘积近似
				\addplot[red, dashed, domain=0.3:4] {x*exp(0.57721*x)*(1+x)*exp(-x)*(1+x/2)*exp(-x/2)*(1+x/3)*exp(-x/3)};
				% 5项乘积近似
				\addplot[green, dotted, domain=0.2:4] {x*exp(0.57721*x)*(1+x)*exp(-x)*(1+x/2)*exp(-x/2)*(1+x/3)*exp(-x/3)*(1+x/4)*exp(-x/4)*(1+x/5)*exp(-x/5)};
				
				\legend{$\frac{1}{\Gamma(x)}$（精确）, 3项近似, 5项近似}
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{Gamma函数倒数的精确值与欧拉无穷乘积近似值的比较}
		\label{fig:gamma_comparison}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=6cm,
				domain=0.01:5,
				samples=200,
				xlabel=$n$,
				ylabel={部分乘积值},
				legend pos=south east,
				grid=major,
				ymin=0, ymax=6
				]
				% 绘制不同x值下的部分乘积收敛情况
				\addplot[blue, thick] table {
					n y
					1 1.0
					2 1.5
					3 1.6667
					4 1.7083
					5 1.7167
					10 1.711
					20 1.705
					50 1.699
				};
				\addplot[red, thick] table {
					n y
					1 2.0
					2 3.0
					3 3.333
					4 3.458
					5 3.550
					10 3.639
					20 3.704
					50 3.748
				};
				
				\legend{$x=1$, $x=2$}
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{不同$x$值时无穷乘积部分和的收敛行为}
		\label{fig:convergence}
	\end{figure}
	
	\section{数学意义与影响}
	
	欧拉的这一推导具有深远的影响：
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{解析延拓的基础}：为Gamma函数提供了一种在整个复平面上（除负整数外）解析的定义方式。
		
		\item \textbf{特殊常数的重要性}：首次明确提出了欧拉-马歇罗尼常数$\gamma$，这个常数在数论、分析和概率论中都有重要应用。
		
		\item \textbf{无穷运算的典范}：展示了如何通过极限过程将离散的阶乘概念推广到连续的Gamma函数。
		
		\item \textbf{现代推广}：Weierstrass后来将此公式推广为：
		\[
		\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}
		\]
		这成为复分析中Gamma函数理论的基础。
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	欧拉在1730年对Gamma函数无穷乘积表达式的推导是其数学创造力的杰出体现。通过将极限、级数和无穷乘积巧妙结合，欧拉不仅解决了阶乘插值问题，而且引入了一个重要的数学常数$\gamma$。
	
	这个推导过程展示了欧拉处理无穷运算的精湛技巧，为后续复变函数论和特殊函数理论的发展奠定了坚实基础。欧拉的这一成就至今仍在数学物理的各个领域发挥着重要作用。
	